homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightГеометрия

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения

Решает систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Умеет выводить решение для совместных неопределенных систем линейных уравнений. Кроме того, выводит результат в формате с плавающей точкой и в формате дроби.

Вообще говоря, на сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ методом Гаусса — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Он даже расписывает решение пошагово.

Однако, у него есть некоторые недостатки, которые будет решать новый калькулятор из этой статьи:

Во-первых, предыдущий калькулятор выдает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.

Во-вторых, предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного множества решений (неопределенная система), но не выдает решение в общем виде.

В-третьих, предыдущий калькулятор работает только в случае когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, и таким образом, не может решать недоопределенных (число неизвестных больше числа уравнений) и переопределенных систем (число неизвестных меньше числа уравнений).

Что касается, второго и третьего пунктов, то универсальность метода Гаусса состоит в том, что на самом деле он годится для систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных, просто это не было использовано.

Описание самого метода Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором подробнее рассмотрены разные случаи (виды систем).

Сам калькулятор, помимо нахождения единственного решения, может находить и общее решение в случае неопределенной системы уравнений.
Матрица уравнений из случая 2 ниже (совместная неопределенная система линейных уравнений) использована в нем в качестве входных данных по умолчанию:

PLANETCALC, Решение системы линейных уравнений методом Гаусса для любого числа уравнений и неизвестных

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса для любого числа уравнений и неизвестных

Количество решений
 
Коэффициенты решения
 
Решение
Save the calculation to reuse next time, to extension embed in your website or share share with friends.

1. Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)

Пример: пусть дана система линейных уравнений
\begin{cases}3x+2y+z=2; \\x-y+2z=-1;\\2x+2y+z=3;\end{cases}

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
\begin{array}{|ccc|c|}  3 &  2 &  1 &  2 \\  0 &  -5 &  5 &  -5 \\  0 &  0 & -5 & -5 \\ \end{array}

Откуда обратным ходом находим единственное решение:
x=-1; y=2; z=1
Система совместна и определена.

2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:
\begin{cases}x_1+2x_2-3x_3+5x_4=1; \\x_1+3x_2-13x_3+22x_4=-1;\\3x_1+5x_2+x_3-2x_4=5;\\2x_1+3x_2+4x_3-7x_4=4;\end{cases}

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
\begin{array}{|cccc|c|}  1 &  2 &  -3 &  5 & 1 \\  0 &  1 & -10 &  17 & -2 \\  0 &  0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}

В результате приходим к системе:
\begin{cases}x_1+2x_2-3x_3+5x_4=1; \\x_2-10x_3+17x_4=-2;\\0=0;\\0=0;\end{cases}

Последние два уравнения верны при любых значениях переменных:
0 \cdot x_1+0 \cdot x_2+0 \cdot x_3+0 \cdot x_4=0
поэтому их можно отбросить.

Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 можно выразить через x3 и x4.
\begin{cases}x_2=10x_3-17x_4-2; \\x_1=-17x_3+29x_4+5;\end{cases}
При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения

Полученная эквивалентная система совместна, но неопределена. Формулы:
\begin{cases}x_1=-17x_3+29x_4+5; \\x_2=10x_3-17x_4-2; \\x_3 \in R; \\x_4 \in R; \end{cases};
при произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений заданной системы.

3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:
\begin{cases}x_1-2x_2+3x_3-4x_4=2; \\3x_1+3x_2-5x_3+x_4=-3;\\-2x_1+x_2+2x_3-3x_4=5;\\3x_1+3x_3-10x_4=8;\end{cases}

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
\begin{array}{|cccc|c|}  1 &  -2 &  3 &  -4 & 2 \\  0 &  9 & -14 &  13 & -9 \\  0 &  0 & 30 & -60 & 54 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 60 \\ \end{array}

Полученная эквивалентная система несовместна, так как последнее уравнение:
0 \cdot x_1+0 \cdot x_2+0 \cdot x_3+0 \cdot x_4=60
не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных.
Эта система несовместна, т. е. не имеет решения.

4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений
\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=6; \\2x_1-3x_2+x_3=0;\\3x_1-2x_2+4x_3=5;\\x_1-x_2+3x_3=3;\end{cases}

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим
\begin{array}{|ccc|c|}  1 &  2 &  3 &  6 \\  0 &  -7 & -5 &  -12 \\  0 &  0 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}

Как видим, в данном случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить. Также в результате преобразований можно получить одинаковые строки, «лишние» из которых тоже можно отбросить — после чего задача сводится к случаям 1 или 2.

5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:
\begin{cases}x_1-x_2+3x_3-4x_4=0; \\2x_1+3x_2+6x_3-8x_4=0;\end{cases}

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
\begin{array}{|cccc|c|}  1 &  -1 &  3 &  -4 & 0 \\  0 &  5 & 0 &  0 & 0 \\ \end{array}

Полученная эквивалентная система имеет вид:
\begin{cases}x_1-x_2+3x_3-4x_4=0; \\5x_2=0;\end{cases}

Как видно, в ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для x3 и x4, что равносильно появлению уравнений вида:
0 \cdot x_1+0 \cdot x_2+0 \cdot x_3+0 \cdot x_4=60
которые можно отбросить.

Таким образом этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:
\begin{cases}x_1=-3x_3+4x_4; \\x_2=0; \\x_3 \in R; \\x_4 \in R; \end{cases}

Comments